The Random Link Approximation for the Euclidean TravelingSalesman

| The traveling salesman problem (TSP) consists of nding the length of the shortest closed tour visiting N \cities". We consider the Euclidean TSP where the cities are distributed randomly and independently in a d-dimensional unit hypercube. Working with periodic boundary conditions and inspired by a remarkable universality in the kth nearest neighbor distribution , we nd for the average optimum tour length hLEi = E(d) N 1?1=d 1 + O(1=N)] with E(2) = 0:7120 0:0002 and E(3) = 0:6979 0:0002. We then derive analytical predictions for these quantities using the random link approximation, where the lengths between cities are taken as independent random variables. From the \cavity" equations developed by Krauth, M ezard and Parisi, we calculate the associated random link values RL(d). For d = 1; 2; 3, numerical results show that the random link approximation is a good one, with a discrepancy of less than 2.1% between E(d) and RL(d). For large d, we argue that the approximation is exact up to O(1=d 2) and give a conjecture for E(d), in terms of a power series in 1=d, specifying both leading and subleading coeecients. R esum e. | Le probl eme du voyageur de commerce (TSP) consiste a trouver le chemin ferm e le plus court qui relie N \villes". Nous etudions le TSP euclidien o u les villes sont distribu ees au hasard de mani ere d ecorr el ee dans l'hypercube de c^ ot e 1, en dimension d. En imposant des conditions aux bords p eriodiques et guid es par une universalit e remarquable de la distribution des ki emes voisins, nous trouvons la longueur moyenne du chemin optimal hLEi = E(d) N 1?1=d 1+ O(1=N)], avec E(2) = 0;7120 0;0002 et E(3) = 0;6979 0;0002. Nous etablissons ensuite des pr edictions analytiques sur ces quantit es a l'aide de l'approximation de liens al eatoires, o u les longueurs entre les villes sont des variables al eatoires ind ependantes. Gr^ ace aux equations \cavit e" d evelopp ees par Krauth, M ezard et Parisi, nous obtenons dans le cas de liens al eatoires les valeurs, RL(d), analogues a E(d). Pour d = 1; 2; 3, les r esultats num eriques connrment que l'approximation de liens al eatoires est bonne, conduisant a un ecart inf erieur a 2,1% entre E(d) et RL(d). Pour d grand, nous donnons des arguments montrant que cette approximation est exacte …